การวัดการกระจาย

สมมติข้อมูลที่ได้จากการวัดของกลุ่มตัวอย่าง 2 กลุ่ม
กลุ่ม 11012151820
กลุ่ม 228152228
เราจะพบว่าค่าเฉลี่ยของทั้ง 2 กลุ่มนี้เท่ากันคือ 15 แต่เมื่อพิจารณาให้ดีแล้ว ข้อมูลที่ได้จากการวัดของกลุ่ม 2 แต่ละค่ามีความแตกต่างกันมากกว่าข้อมูลในกลุ่มที่ 1 ในการจะทราบความแตกต่างของข้อมูลในแต่ละกลุ่มเราเรียกว่า การวัดการกระจาย ซึ่งมีวิธีการต่าง ๆ ดังนี้
1. พิสัย (The Range)
2. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (The Mean Deviation)
3. ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (The Variance and Standard Deviations)
4. เซมิอินเตอร์ควอไทล์เรนจ์ (The Semi-Interquartile range)
5. อินเตอร์ควอไทล์เรนจ์ (Interquartile Range)
6. สัมประสิทธิ์ของการกระจาย (The Coefficient off Variation)
7. ความเบ้และความโด่ง (Skewness and Kurtosis)

1. พิสัย (The Range)

พิสัยเป็นการวัดการกระจายที่ง่ายที่สุด เป็นการหาความแตกต่างของข้อมูลสูงสุดและต่ำสุดของกลุ่ม พิสัยของข้อมูลกลุ่ม 1 ซึ่งมีข้อมูลคือ 10, 12, 15, 18 และ 20 คำนวณหาพิสัยคือ 20 ลบ 10 เท่ากับ 10 พิสัยของข้อมูลกลุ่ม 2 ซึ่งมีข้อมูลคือ 2, 8, 15, 22 และ 28 คำนวณหาพิสัยคือ 28 ลบ 2 เท่ากับ 26 จะเห็นว่าข้อมูลกลุ่ม 2 จะมีค่าการกระจายมากกว่าข้อมูลในกลุ่ม 1
พิสัยมีข้อเสีย 2 ข้อคือ 1) ในกรณีใช้พิสัยกับข้อมูลที่มีจำนวนมาก การวัดจะไม่แน่นอน 2) ค่าของพิสัยจะขึ้นอยู่กับขนาดของข้อมูล ถ้าข้อมูลมีจำนวนมากพิสัยจะมาก ถ้าข้อมูลมีจำนวนน้อยพิสัยจะน้อย

2. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (The Mean Deviation)

สมมติข้อมูลที่ได้จากการวัด 3 กลุ่มดังนี้
กลุ่ม 188888
กลุ่ม 21471013
กลุ่ม 315202529
พิจารณาดูจะเห็นว่า กลุ่ม 1 มีการกระจายน้อยกว่ากลุ่ม 2 และกลุ่ม 2 มีการกระจายน้อยกว่ากลุ่ม 3 ในกลุ่ม 1 นั้น ข้อมูลทั้งหมดไม่มีความแปรปรวน เมื่อหาค่าเฉลี่ยของแต่ละกลุ่มจะได้ 8, 7 และ 16 ตามลำดับ ถ้าเราหาความเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ยแล้วจะได้
กลุ่ม 100000
กลุ่ม 2-6-30+3+6
กลุ่ม 3-15-11+4+9+13
เราอาจจะใช้คุณลักษณะนี้ของการวัดการกระจายที่ชื่อว่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยก็คือ ค่าเฉลี่ยของค่าสัมบูรณ์ของความเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย ค่าสัมบูรณ์ของความเบี่ยงเบนก็คือ ความเบี่ยงเบนที่ปราศจากเครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ เราจะพูดให้ง่ายเข้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยก็คือการคำนวณความเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย นำความเบี่ยงเบนแต่ละตัวมาหาค่าสัมบูรณ์ แล้วนำมาบวกกันและหารด้วย N
จากตัวอย่างข้างบน กลุ่ม 1 มีส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยเป็น 0 กลุ่ม 2 มีส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ (6 + 3 + 0 + 3 + 6)/5 = 18/5 = 3.6 และกลุ่ม 3 มีส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยคือ (15 + 11 + 4 + 9 + 13) / 15 = 52/5 = 10.4
ส่วนเบี่ยงเบี่ยงเฉลี่ยสามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้

เมื่อ แทนส่วนเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย และ แทน ส่วนเบี่ยงเบนที่ปราศจากเครื่องหมายคณิตศาสตร์ ในกรณีที่ข้อมูลถูกจัดเป็นกลุ่ม ใช้สูตร

ตัวอย่างการคำนวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแสดงในตาราง 10

ตาราง 10 ขั้นตอนการคำนวณหาค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เอกสารชุดนี้จัดทำโดย : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. พฤษภาคม ๒๕๔๔