การแจกแจงปกติ (The Normal Curve)

สมการการแจกแจงปกติคือ

สังเกตค่า และ ในสูตรนั้นเป็นการนำเสนอค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแทน และ s เพราะว่าสูตรนี้อยู่ในรูปแบบเชิงทฤษฎี ถ้าเรารู้ค่า N, และ แล้วนำค่า X แต่ละตัวมาแทนค่าในสูตรและคำนวณได้ค่า Y ถ้าเรานำคู่ของค่า X และ Y มาสร้างกราฟ เราจะได้โค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ย และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และพื้นที่ N
โค้งปกตินั้นสามารถเขียนได้ในรูปของคะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐานมีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ดังนั้น = 0 และ = 1 พื้นที่ภายใต้โค้งจะมี N = 1 สามารถเขียนได้ดังสูตร

z คือคะแนนมาตรฐานบนแกน X และมีค่าเท่ากับ (X - )/ คะแนน z คือความเบี่ยงเบนในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานบนเส้นตรงของโค้งจากค่าเฉลี่ย 0 ถ้าเบี่ยงเบนไปทางขวาของค่าเฉลี่ยจะมีค่าเป็นบวก และเบี่ยงเบนไปทางซ้ายมีค่าเป็นลบ โค้งนี้มีพื้นที่ใต้โค้งเป็น 1 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ความเปลี่ยนแปลงของ z ในสูตรคำนวณ ขึ้นอยู่กับความแตกต่างของค่า y ที่ได้จากการคำนวณ เมื่อ z = 0, = 0.3989 ซึ่ง e0 = 1 ค่าอะไรก็ตามยกกำลัง 0 จะได้เท่ากับ 1 ดังนั้น ความสูงจากค่าเฉลี่ยจนถึงยอดของโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 0.3989 สำหรับ z = +1, y = 0.2420 และ z = +2, y = 0.0540 ในทางกลับกัน ความสูงของโค้งปกติสามารถคำนวณได้จากค่า z หรืออาจจะเปิดจากตารางการแจกแจงปกติก็ได้ ตารางนี้แสดงความแตกต่างของค่า y เมื่อค่า z แตกต่างกัน จะแสดงพื้นที่ภายใต้โค้งระหว่างค่าเฉลี่ยและความแตกต่างของค่า z
รูปร่างโดยทั่วไปของโค้งปกติแสดงได้ดังภาพประกอบ 1

ภาพประกอบ 1 โค้งปกติที่แสดงความสูงของโค้ง ณ ค่า z ที่แตกต่างกัน

โค้งปกติมีลักษณะดังนี้
1. โค้งมีลักษณะสมมาตร ค่าเฉลี่ย ฐานนิยม และมัธยมฐานมีค่าเท่ากัน
2. จุดที่สูงที่สุดของโค้งจะอยู่ที่ค่าเฉลี่ย มี z = 0 มีความสูง = 0.3989
3. ปลายทั้ง 2 ข้างของโค้งจะไม่สัมผัสแกนนอนแต่จะมีค่าเป็นอนันต์ (infinity)
4. จุดที่มีการเปลี่ยนแปลงมากที่สุดคือจุด -1 และ +1 ของความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยที่อยู่ต่ำและเหนือกว่าค่าเฉลี่ย
5. จะมีพื้นที่ประมาณ 68% ที่อยู่ใต้โค้งระหว่าง -1 และ +1 ของความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย
6. ที่จุด z = 1.96 จะมีพื้นที่ใต้โค้งรวมได้ 95% และที่ z = 2.58 จะมีพื้นที่ใต้โค้งรวมได้ 99% ดังนั้นพื้นที่ที่เหลืออยู่อีก 5% และ 1% ตามลำดับจะเป็นพื้นที่ที่เหลืออยู่บริเวณปลายโค้ง

พื้นที่ภายใต้โค้งปกติ

มีความจำเป็นที่จะต้องหาสัดส่วนของพื้นที่ภายใต้โค้งปกติระหว่างจุดบนแกน X ที่แตกต่างกัน โดยต้องการทราบว่า 1) สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่างจุดที่เป็นค่าเฉลี่ยและจุดอื่น ๆ ที่อยู่เหนือและต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 2) สัดส่วนของพื้นที่รวมทั้งหมดที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าจุดบนเส้นแกน X สัดส่วนของพื้นที่ทั้งหมดระหว่างจุด 2 จุดบนเส้นแกน X

ตารางการแจกแจงปกติแสดงสัดส่วนของพื้นที่ระหว่าง z = 0 ถึง z = 3 สมมติว่าเราต้องการหาพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 0 และ z = +1 เราเปิดตารางการแจกแจงปกติ จะได้ค่า 0.3413 ประมาณ 34.13% ของพื้นที่รวมทั้งหมดอยู่ระหว่าง กับ + 1 สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้ง z = 0 และ z = 2 คือ .4772 ดังนั้นมีพื้นที่ประมาณ 47.72% ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดอยู่ระหว่าง กับ + 2 สัดส่วนของพื้นที่ระหว่าง z = 0 กับ z = 3 คือ .4987 หรือ 49.87% ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดอยู่ระหว่าง กับ + 3
สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 0 และ z = +1 คือ 0.3413 ทั้งนี้เพราะโค้งมีลักษณะสมมาตร ดังนั้น สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 0 กับ z = -1 ก็คือ 0.3413 ดังนั้นสัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 1 จึงเท่ากับ 0.3413 + 0.3413 = 0.6826 หรือประมาณ 68% ของพื้นที่ทั้งหมด สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 2 คือ 0.4772 + 0.4772 = 0.9544 หรือ 95% ของพื้นที่ทั้งหมด สัดส่วนระหว่าง z = 3 คือ 0.4987 + 0.4987 = 0.9974 หรือ 99.74% ของพื้นที่ทั้งหมด พื้นที่ที่อยู่นอกเหนือจากนี้จะมีขนาดเล็กมาก ประมาณ 0.26%
พิจารณาการวัดสัดส่วนของพื้นที่ทั้งหมดที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าค่าที่อยู่บนเส้นแกน X ตัวอย่างจุดที่ z = 1 สัดส่วนของพื้นที่ระหว่างค่าเฉลี่ยกับ z = 1 คือ 0.3413 สัดส่วนพื้นที่ที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยคือ 0.5 สัดส่วนของพื้นที่ที่อยู่ต่ำกว่า z = 1 คือ 0.5 + 0.3413 = 0.8413 สัดส่วนที่อยู่เหนือจุดที่ z = 1 คือ 1.00 - 0.8413 = 0.1587 ดังนั้นการหาพื้นที่ที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าจุดใด ๆ บนแกน X สามารถหาได้ทำนองเดียวกัน

ภาพประกอบ 2 โค้งปกติที่แสดงพื้นที่ภายใต้โค้งระหว่างค่าเฉลี่ยและค่า z ที่แตกต่างกัน

แต่ปัญหาจะมีมากตรงการหาพื้นที่ที่อยู่ระห่างจุด 2 จุดใด ๆ บนแกน X สมมติเราต้องการหาพื้นที่ระหว่าง z = .5 และ z = 1.5 จากตารางการแจกแจงปกติ เราหาสัดส่วนของพื้นที่ระหว่างค่าเฉลี่ยกับ z = 0.5 ได้ .1915 เราหาสัดส่วนของพื้นที่ระหว่างค่าเฉลี่ยกับ z = 1.5 ได้ 0.4332 พื้นที่ระหว่าง z = 0.5 และ z = 1.5 สามารถคำนวณได้โดย 0.4332 - 0.1915 = 0.2417

ภาพประกอบ 3 โค้งปกติที่แสดงพื้นที่ระหว่าง z = .50 และ z = 1.50

เราสามารถหาค่า z เมื่อทราบสัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้ง ดังตัวอย่าง ค่า z อยู่เหนื่อและต่ำกว่าค่าเฉลี่ยรวมแล้วมีพื้นที่ 0.95 เราเลือก z ที่อยู่เหนือค่าเฉลี่ยมีสัดส่วนของพื้นที่เป็น 0.475 ของพื้นที่รวมทั้งหมด และ z ที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมีพื้นที่เป็น 0.475 ของพื้นที่รวมทั้งหมด จากตารางการแจกแจงปกติ เราจะสังเกตค่าสัดส่วนพื้นที่ 0.475 ซึ่งอยู่ระหว่าง z = 0 และ z = 1.96 เมื่อโค้งมีความสมมาตรกัน ดังนั้นสัดส่วนของพื้นที่ 0.475 จะอยู่ระหว่าง z = 0 และ z = 1.96 ด้วย ดังนั้น สัดส่วน 0.95 หรือ 95% นั้นเป็นพื้นที่ที่อยู่ระหว่าง z = 1.96 สัดส่วนพื้นที่ 0.05 หรือ 5% นั้น อยู่นอกเหนือพื้นที่ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราต้องการหาพื้นที่ 99% ของพื้นที่ทั้งหมด เราจะได้ค่า z = 2.58

ภาพประกอบ 4 โค้งปกติที่แสดงค่า z ซึ่งมีพื้นที่เป็นสัดส่วน 0.95 ของพื้นที่ทั้งหมด

การคำนวณหาโค้งปกติ

ในสมการโค้งปกติ

ถ้า z = 1.00 ดังนั้น

ดังนั้นความสูงของโค้งเมื่อ z = 1.00 คือ 0.24
หรือถ้า z = .50 ดังนั้น

z-score ที่ 0.5 ความสูงของโค้งปกติคือ 0.35

กราฟของโค้งปกติจะมีความสมมาตรกัน ปลายของโค้งทั้ง 2 จะไม่สัมผัสกับแกน X แต่ปลายของโค้งอยู่ไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นอนันต์
แม้ว่าโค้งปกติจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่โค้งปกติที่เป็นมาตรฐานจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 โค้งปกติทั้งหมดสามารถจะทำให้เป็นโค้งปกติมาตรฐานได้โดยการแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐาน

เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่า z-score

ถ้ามี z-score ที่ 1.35 และเราต้องหาเปอร์เซ็นต์ที่อยู่ต่ำกว่า z-score ที่ 1.35 ในอันดับแรกเราจะดูที่ตารางการแจกแจงปกติ ซึ่งเราจะอ่านค่าได้ 41.15% ของจำนวนข้อมูลทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง z-score ที่ 1.35 และค่าเฉลี่ย เรารู้ว่า z-score ที่ 1.35 อยู่ทางด้านบวก ดังนั้นเราต้องบวกพื้นที่ทางด้านขวาของค่าเฉลี่ย ยิ่งกว่านั้นเรารู้ว่าจะมี 50% ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย เราจึงต้องรวม 50% กับ 41.15% รวมเป็น 91.15%

ภาพประกอบ 5 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่ต่ำกว่า z = 1.35

ถ้า z-score มีค่าติดลบ เช่น -0.75 ให้ดูตารางการแจกแจงปกติและอ่านค่าเปอร์เซ้นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่าง 0.75 กับค่าเฉลี่ย จะได้ 27.34% เนื่องจากค่า z-score ติดลบและอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย เราทราบว่ามี 50% ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้นเราจะต้องหัก 27.34 จาก 50% จะได้ 22.66%

ภาพประกอบ 6 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่ต่ำกว่า z = -0.75

เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือ z-score

เราต้องการหาเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือ z-score ที่ 1.05 โดยเปิดที่ตารางการแจกแจงปกติ อ่านค่าเปอร์เซ็นต์ที่อยู่ระหว่าง z = 1.05 และค่าเฉลี่ย อ่านค่าได้ 35.31% ซึ่งเป็นพื้นที่ด้านบวก แต่เรารู้ว่า 50% ของข้อมูลทั้งหมดอยู่เหนือค่าเฉลี่ย เราจะหัก 35.31% ออกจาก 14.69%

ภาพประกอบ 7 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่เหนือ z = 1.05

ค่า z-score เป็นลบ -0.085 เราจะดูตารางและอ่านค่า z= 0.85 ได้จำนวน 30.25% ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือ z-score กับค่าเฉลี่ย แต่ยังมีอีก 50% ที่อยู่เหนือค่าเฉลี่ย เราจะเพิ่ม 30.25% ให้กับ 50% จะได้ 80.23% เป็นเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือ -0.85

ภาพประกอบ 8 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่เหนือ z = -0.085

เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z-score

z-score ด้านที่ตรงข้ามกับค่าเฉลี่ย
ตัวอย่าง เราต้องการหาเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score ที่ -1.0 และ +0.50
อันดับแรกเราต้องพิจารณาโค้งปกติและหาตำแหน่ง z-score บนแกน X ถัดมา เปิดตารางการแจกแจงปกติที่ -1.00 จะได้ 34.13% และที่ +0.50 จะได้ 19.15% ซึ่งแต่ละค่าที่เปิดจะเป็นค่าจาก z-score ถึงค่าเฉลี่ย แล้วเราบวกเปอร์เซ็นต์ทั้ง 2 จะได้ 53.28% คือเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score

ภาพประกอบ 9 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = -1.00 และ 0.50

ตัวอย่าง เราต้องการหาจำนวนเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score ที่ -2.0 และ +1.65 หาค่าเปอร์เซ็นต์จากตารางแจกแจงปกติจะได้ 47.72% และ 45.05% แล้วบวกค่าเปอร์เซ็นต์จะได้ 92.77%
ในแต่ละตัวอย่างข้างต้นค่า z-score จะอยู่ด้านตรงข้ามของค่าเฉลี่ย ด้านหนึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ยและอีกด้านหนึ่งสูงกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้นการหาเปอร์เซ็นต์จะต้องนำเปอร์เซ็นต์ที่ได้จากการเปิดตารางมาวกเข้าด้วยกัน

ภาพประกอบ 10 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = -2.00 และ 1.65

z-score อยู่ด้านเดียวกับค่าเฉลี่ย
ตัวอย่าง ต้องการหาเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score 0.50 และ 1.00
ขั้นแรกหาตำแหน่งของ z-score บนแกน X มี z-score = 0.50 อยู่ทางด้านขวาของค่าเฉลี่ยและ 1.0 อยู่ถัดออกมาทางด้านขวา อ่านค่าเปอร์เซ็นต์จากตารางได้ 19.15% สำหรับค่า z-score ที่ 0.50 และ 34.13% สำหรับ z-score ที่ 1.0 เราพบว่า 34.13% ของข้อมูลอยู่ในพื้นที่จากค่าเฉลี่ยถึง z = 1.0 และ 19.15% อยู่ในพื้นที่จากค่าเฉลี่ยถึง z = 0.50 จะต้องนำ 19.15% หักออกจาก 34.15% จะได้ 14.98% คือจำนวนเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = 0.50 และ 1.00

ภาพประกอบ 11 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = 0.50 และ 1.00

ตัวอย่าง หาเปอร์เซ็นต์ของคนที่ตกอยู่ระหว่าง 1.50 และ 1.0 จากตารางเปิดได้ 43.32% สำหรับ z-score ที่ 1.50 และ 34.13% สำหรับ z-score ที่ 1.0 นำค่า 34.13 มาหักออกจาก 43.32 จะได้ 9.19% คือเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score ที่ 1.50 และ 1.00

ภาพประกอบ 12 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = 1.50 และ 1.00

ฝึกแปลงคะแนนมาตรฐาน z

ต่อไปนี้จะนำเสนอตัวอย่างในการแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนมาตรฐาน z ในแต่ละกรณี

กรณี 1 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่างคะแนนดิบกับคะแนนเฉลี่ย การแจกแจงปกติของคะแนน SAT มีคะแนนเฉลี่ย 440 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 85 มีคะแนนกี่เปอร์เซ็นต์ที่ตกอยู่ระหว่างคะแนน SAT 500 และค่าเฉลี่ย
เราจะแปลงคะแนนดิบ 500 ให้เท่ากับคะแนน z

จากตารางการแจกแจงปกติที่ 0.71 ได้ค่าพื้นที่ 0.2611 นั่นคือ 26.11% ของคะแนน SAT ตกอยู่ระหว่าง 500 และค่าเฉลี่ย

กรณี 2 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าคะแนนดิบ
ในการแจกแจงปกติ น้ำหนักของกลุ่มเพศชายซึ่งมีคะแนน 170 ปอนด์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 23.17 ปอนด์ มีข้อมูลกี่เปอร์เซ็นต์ที่มีน้ำหนักตกอยู่ต่ำกว่า 200 ปอนด์
เราแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนน z

คะแนน z มีค่าเป็น + (เหนือค่าเฉลี่ย) โดยนำคะแนน z ไปเปิดตารางได้ค่า 40.15 รวมกับ 50% ที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยได้ 90.15% ซึ่งเป็นเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่า 200 ถ้าคะแนน z เป็นลบแล้ว เปอร์เซ็นต์ที่เกิดได้จากตารางจะต้องนำไปลบออกจาก 50

กรณี 3 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือข้อมูลดิบ
การแจกแจงปกติของปริมาณเลือดในโรงพยาบาลมีค่าเฉลี่ย 130 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9.15 มีกี่เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เนือกว่า 150
เราแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนน z ได้ดังนี้

คะแนน z เป็นบวก (เหนือค่าเฉลี่ย) เราเปิดตารางได้ค่า 48.57 ลบกับ 50% ได้ 1.43% เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือกว่า 150 คือ 1.43%

กรณี 4 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่างคะแนนดิบ
การแจกแจงปกติ ความสูงของเพศหญิงมีค่าเฉลี่ย 65 นิ้ว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 นิ้ว มีกี่เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่างความสูง 60 และ 63 นิ้ว
เราแปลงคะแนนดิบทั้งคู่นี้เป็นคะแนน z ได้ดังนี้

คะแนน z ทั้ง 2 ค่าเปิดตารางได้ 45.25 และ 24.86 ตามลำดับ ดังนั้นเปอร์เซ็นต์ที่อยู่ระหว่าง 60 และ 63 คือ 45.25% - 24.86% = 20.39% เป็นเปอร์เซ็นต์ข้อมูลที่อยู่ระหว่าง 60 และ 63

กฎการแปลงคะแนน z เป็นเปอร์เซ็นต์

1. กรณี 1 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลระหว่างคะแนน z กับค่าเฉลี่ยสามารถเปิดได้โดยตรงจากตารางการแจกแจงปกติ
2. กรณี 2 เปอร์เซ้นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าคะแนน z
2.1 ถ้าค่าคะแนน z เป็นบวก ต้องนำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาบวกกับ 50%
2.2 ถ้าค่าคะแนน z เป็นลบ ต้องนำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาลบจาก 50%
3. กรณี 3 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือกว่าคะแนน z
3.1 ถ้าคะแนน z เป็นบวกต้องนำเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาลบจาก 50%
3.2 ถ้าคะแนน z เป็นลบต้องนำเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาบวกกัน 50%
4. กรณี 4 เปอร์เซ็นต์ระหว่างคะแนน z 2 ค่า
4.1 ถ้าคะแนน z ทั้ง 2 คู่อยู่ตรงช้ามกันกับค่าเฉลี่ย ให้นำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดจากตารางมาบวกกัน
4.2 ถ้าคะแนน z อยู่ข้างเดียวกับค่าเฉลี่ย ให้นำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดจากตารางมาลบกัน โดยนำค่ามากลบด้วยค่าน้อย

สรุป

โค้งปกติจะเป็นการแจกแจงความถี่แบบโค้งเดียว (Unimodal) จะมีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ (ค่าเฉลี่ย, มัธยฐาน และฐานนิยม อยู่จุดกึ่งกลางของโค้งเป็นจุดเดียว) และ asymptotic to the abscissa (โค้งปกติที่ปลายโค้งไม่แตะแกน X) สมการของโค้งปกติจะใช้จัดเตรียมโค้ง กับค่าคงที่ที่สัมพันธ์กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เมื่อโค้งถูกพล็อตบนพื้นฐานของหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันจะถูกเรียกว่า โค้งส่วนเบี่ยงเบมาตรฐาน ในตารางการแจกแจงโค้งปกติทั้งหมดก็จะเป็นเปอร์เซ็นต์ของพื้นที่ที่มีอยู่ภายใต้โค้งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
คะแนนมาตรฐาน หรือ z-score เป็นค่าที่แปลงจากคะแนนดิบให้มาอยู่ในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐาน z นิยามว่าเป็นระยะห่างของคะแนนดิบจากค่าเฉลี่ย หรือเป็นระยะที่อยู่เหนือกว่าหรือต่ำกว่าค่าเฉลี่ยในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน


บรรณานุกรม
Ferguson, George A. and Takane, Yoshio. Statistical Analysis in Psychology and Education. Singapore : McGraw Hill Book Co., 1989.
Guilford, J.P. and Fruchter, Benjamin. Fundamental Statistics in Psychology and Education. Singapore : McGraw Hill Book Co., 1978.
Sprinthall, Richard C. Basic Statistical Analysis. Massachusetts : Allyn and Bacon, 1994.

เอกสารชุดนี้จัดทำโดย : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. มิถุนายน ๒๕๔๕