มัธยฐาน (Median)

มัธยฐานเป็นค่าที่อยู่กึ่งกลางของข้อมูล และแบ่งครึ่งข้อมูลออกเป็นสองส่วนเท่ากัน สมมติให้ X เป็นชุดของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ และจัดเรียงข้อมูลจากต่ำไปหาสูงแล้ว ส่วน R คืออันดับที่ของข้อมูล

X271619202527
R1234567

จากตัวอย่าง มัธยฐาน คือ 19 ซึ่งเป็นค่าที่อยู่ในอันดับที่ 4 แบ่งข้อมูลออกเป็นกลุ่มสูง 3 ค่าและกลุ่มต่ำ 3 ค่าเท่ากัน ถ้าเพิ่มค่า 31 เข้าไป มัธยฐานสามารถหาได้จากการหาค่าเฉลี่ยของข้อมูล 2 ค่าที่อยู่ตรงกลางคือ 19 และ 20 คือ (19 + 20)/2 = 19.5
ในกรณีที่ข้อมูลมีความถี่ดังตัวอย่าง

X777888991010
R12345678910

ในที่นี้สามารถคำนวณหาตำแหน่งของมัธยฐานได้โดยใช้สูตร (N + 1)/2 ดังนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้คือ 8

การคำนวณมัธยฐานจากข้อมูลแจกแจงความถี่

ในการคำนวณมัธยฐานของข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ มีปัญหาตรงที่จะต้องหาค่าที่อยู่ตรงกลางและแบ่งครึ่งข้อมูลกลุ่มสูงและกลุ่มต่ำเท่ากันพอดี ข้อมูลแสดงในตาราง 10

ตาราง 8 การแจกแจงความถี่ของคะแนนสอบ

ในขั้นแรกจะต้องหาความถี่สะสม ดังแสดงในสดมภ์ที่ 3
ขั้นสอง หาตำแหน่งมัธยฐาน โดยใช้ N/2 จะได้ 38
ขั้นสาม ดูชั้นที่มีคนที่ 38 ตกอยู่ พบว่าอยู่ในชั้น 15 - 19 ซึ่งมีขอบเขตแท้จริงเป็น 14.5 - 19.5 เรารู้ได้อย่างไรว่าคนที่ 38 อยู่ในชั้นนี้เพราะว่าดูที่ความถี่สะสม ดูจากค่าต่ำสุดขึ้นไปจนถึงคนที่ 38
ขั้นสี่ ภายในชั้นที่มีคนที่ 38 อยู่นั้นมีความถี่เป็น 26 ซึ่งเราต้องทราบค่าตรงความถี่ที่ 25 เพราะ 2 + 11 + 25 = 38 ซึ่งเราจะพบค่านั้นอยู่ระหว่าง 14.5 - 19.5 เป็นค่าที่มีจำนวนคน 25 คนอยู่ตั้งแต่ค่านี้ลงไป และมีอยู่ 1 คนที่อยู่เหนือค่านี้ สัดส่วนของช่วงที่ต้องการคือ 25/26 แล้วคูณด้วยความกว้างอันตรภาคชั้นเป็น (25/26) X 5 = 4.81 เราจะบวกค่าที่ได้เพิ่มเข้าไปกับขีดจำกัดล่างแท้จริง จะได้ค่ามัธยฐาน = 14.50 + 4.81 = 19.31
มีสูตรเพื่อให้ง่ายต่อการคำนวณดังนี้

จากตัวอย่าง L = 14.5, F = 13, fm = 26, N = 76 และ I = 5

คุณสมบัติของมัธยฐาน

1. ผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของส่วนเบี่ยงเบนที่คำนวณจากค่ามัธยฐาน จะน้อยกว่าผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของส่วนเบี่ยงเบนที่คำนวณจากค่าอื่น ๆ ถ้าเราสมมติค่าสัมบูรณ์ของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คำนวณจากมัธยฐานเป็น |X-Mdn| แล้ว ค่า |X - Mdn| จะมีค่าน้อยที่สุด
2. ถ้านำค่าคงที่ไปบวก ลบ คูณหรือหาร คะแนนแต่ละตัวจะทำให้ได้ค่ามัธยฐานใหม่ที่เท่ากับการนำค่าคงที่ไปบวก ลบ คูณหรือหารกับค่ามัธยฐานเดิม

เอกสารชุดนี้จัดทำโดย : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. เมษายน ๒๕๔๔